케일리-해밀턴 정리 계산기

역사적 배경

케일리-해밀턴 정리는 선형대수학의 기본적인 결과로, 19세기에 아서 케일리와 윌리엄 해밀턴이 독립적으로 발견했습니다. 이 정리는 모든 정방행렬이 자신의 특성방정식을 만족한다는 것을 명시합니다. 이 정리는 행렬이론을 이해하는 데 중요하며, 연립일차방정식, 제어이론, 양자역학과 같은 분야에서 실용적인 응용이 있습니다.

계산 공식

케일리-해밀턴 정리는 행렬 A에 대해 특성다항식 pA(λ)가 다음과 같이 주어짐을 주장합니다.

\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \]

여기서 I는 단위행렬이고, det는 행렬식을 나타냅니다. 행렬은 다음 방정식을 만족합니다.

\[ p_A(A) = 0 \]

예시 계산

2x2 행렬이 주어졌다고 가정합니다.

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

특성다항식은 다음과 같습니다.

\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

A를 특성다항식에 대입하면 영행렬이 생성되므로, 이 행렬은 케일리-해밀턴 정리를 만족합니다.

중요성 및 활용 사례

케일리-해밀턴 정리는 행렬 함수, 행렬 거듭제곱 및 연립일차방정식 풀이와 관련된 계산을 단순화합니다. 선형 미분방정식, 제어이론 및 행렬 지수 함수와 유사한 함수가 사용되는 양자역학에 응용됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

1. 특성다항식이란 무엇입니까?

   • 행렬의 특성다항식은 그 근이 행렬의 고유값인 다항식입니다. \( \det(\lambda I - A) \)로 계산됩니다.

2. 케일리-해밀턴 정리는 실제 응용에서 어떻게 도움이 됩니까?

   • 행렬의 고차 거듭제곱을 저차 거듭제곱으로 표현할 수 있게 하여 선형대수, 제어 시스템 및 양자역학의 계산을 단순화합니다.

3. 이 정리는 모든 행렬에 적용됩니까?

   • 네, 케일리-해밀턴 정리는 크기나 정의된 체에 관계없이 모든 정방행렬에 적용됩니다.