제n항 판정식 계산기

역사적 배경

발산 판정법으로도 알려진 항등비 판정법은 무한급수의 수렴성을 판별하는 데 사용되는 가장 간단한 방법 중 하나입니다. 미적분학과 급수 이론의 초기 발전에서 수학자들이 무한합의 수렴 또는 발산을 이해하려고 시도하면서 유래되었습니다. 이 판정법은 급수가 확실히 발산하는지 여부를 빠르고 쉽게 판별하는 방법을 제공합니다.

계산 공식

항등비 판정법은 급수의 n번째 항의 극한값이 n→∞일 때 0에 접근하지 않으면 그 급수는 발산한다고 명시합니다. 공식은 다음과 같습니다.

\[ \lim_{{n \to \infty}} a_n \]

이 극한값이 0이 아니면 급수는 발산합니다. 극한값이 0이면 판정법은 결정적이지 않으며 추가적인 방법이 필요합니다.

예시 계산

\( a_n = \frac{1}{n} \)인 급수를 생각해 봅시다.

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0 \]

이 경우 극한값이 0이므로 항등비 판정법은 결정적이지 않습니다. 비교 판정법이나 비율 판정법과 같은 다른 판정법이 필요합니다.

\( a_n = n \)인 경우 극한값은 다음과 같습니다.

\[ \lim_{{n \to \infty}} n = \infty \]

따라서 급수는 발산합니다.

중요성 및 활용 사례

항등비 판정법은 무한급수가 수렴할 수 있는지 여부를 결정하는 빠른 첫 단계를 제공하기 때문에 중요합니다. 항의 극한값이 0으로 가지 않으면 더 복잡한 판정법이 필요하지 않습니다. 급수는 발산합니다. 미적분학, 수리 해석 및 무한급수 모델이 일반적인 물리학 및 공학의 많은 응용 분야에서 사용됩니다.

일반적인 FAQ

1. 항등비 판정법이 결정적이지 않다는 것은 무엇을 의미합니까?

   • 급수는 여전히 수렴하거나 발산할 수 있으며, 그 거동을 결정하기 위해 다른 판정법을 적용해야 함을 의미합니다.

2. 항등비 판정법으로 수렴을 증명할 수 있습니까?

   • 아니요, 항등비 판정법은 발산만을 증명할 수 있습니다. 판정법이 결정적이지 않으면 다른 방법이 필요합니다.

3. n번째 항의 극한값이 숫자가 아닌 경우 어떻게 됩니까?

   • 극한값이 무한대이거나 존재하지 않으면 급수는 발산합니다.