Calculatrice de la règle des 3/8 de Simpson

Contexte historique

La règle des 3/8 de Simpson est une méthode d'intégration numérique, nommée d'après le mathématicien Thomas Simpson. Elle est une extension de la règle du 1/3 de Simpson et appartient à la classe des formules de Newton-Cotes. Ces méthodes sont conçues pour approcher les intégrales définies, particulièrement lorsque la fonction n'est pas facilement intégrable par les méthodes standard. La règle des 3/8 est particulièrement utile lorsque la fonction est lisse et continue sur l'intervalle d'intégration, et elle est plus précise que la règle du trapèze.

Formule de calcul

La règle des 3/8 de Simpson est donnée par la formule :

\[ \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{3h}{8} \left[ f(a) + 3 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=1}^{n-3} f(x_{3i}) + f(b) \right] \]

Où :

• \( a \) est la limite inférieure d'intégration
• \( b \) est la limite supérieure d'intégration
• \( n \) est le nombre d'intervalles (doit être un multiple de 3)
• \( h = \frac{b - a}{n} \)
• \( f(x) \) est la fonction à intégrer

Calcul d'exemple

Calculons l'intégrale de la fonction \( f(x) = x^2 \) de 0 à 1 en utilisant la règle des 3/8 de Simpson avec 3 intervalles :

1. Limite inférieure \( a = 0 \)
2. Limite supérieure \( b = 1 \)
3. Nombre d'intervalles \( n = 3 \)
4. \( h = \frac{1 - 0}{3} = \frac{1}{3} \)

Appliquons maintenant la règle :

\[ \int_0^1 x^2 \, dx \approx \frac{3 \times \frac{1}{3}}{8} \left[ f(0) + 3 \times (f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})) + f(1) \right] \]

\[ = \frac{1}{8} \left[ 0^2 + 3 \times \left( \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right) + 1^2 \right] \]

\[ = \frac{1}{8} \left[ 0 + 3 \times \left( \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \right) + 1 \right] = \frac{1}{8} \left[ 0 + 3 \times \frac{5}{9} + 1 \right] = \frac{1}{8} \left[ \frac{15}{9} + 1 \right] = \frac{1}{8} \times \frac{24}{9} = \frac{24}{72} = \frac{1}{3} \]

Importance et scénarios d'utilisation

La règle des 3/8 de Simpson est précieuse pour résoudre les intégrales définies où la fonction est complexe ou connue seulement en des points discrets. Cette méthode est particulièrement utile dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie et l'économie, où une intégration numérique précise est nécessaire pour les applications pratiques.

FAQ courantes

1. Pourquoi utiliser la règle des 3/8 de Simpson au lieu de la règle du 1/3 de Simpson ?

   • La règle des 3/8 de Simpson est plus précise lorsque le nombre d'intervalles est un multiple de 3. Elle peut fournir de meilleurs résultats pour certaines fonctions sur des intervalles plus grands par rapport à la règle du 1/3.

2. Puis-je utiliser n'importe quel nombre d'intervalles pour cette méthode ?

   • Non, le nombre d'intervalles \( n \) doit être un multiple de 3 pour que la règle des 3/8 de Simpson fonctionne correctement.

3. Quel type de fonctions bénéficient de la règle des 3/8 de Simpson ?

   • Les fonctions lisses et continues sur l'intervalle d'intégration donnent généralement des résultats plus précis lorsqu'elles sont intégrées à l'aide de cette règle.