Calculatrice de point de tangence

Contexte historique

Le concept de tangence est un sujet fondamental du calcul différentiel depuis ses débuts. L'étude des tangentes aux courbes a été cruciale pour le développement du calcul différentiel, notamment dans les travaux de mathématiciens comme Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle. La tangente à une courbe en un point représente le taux de variation instantané de la courbe en ce point.

Formule de calcul

Pour trouver le point de tangence d'une courbe \( y = ax^2 + bx + c \) en une abscisse \( x \) donnée :

1. Ordonnée : \[ y_1 = a \cdot x_1^2 + b \cdot x_1 + c \]

2. Pente de la tangente : \[ \text{pente} = 2a \cdot x_1 + b \]

Exemple de calcul

Supposons que vous ayez l'équation \( y = 2x^2 + 3x + 1 \) et que vous souhaitiez trouver le point de tangence en \( x_1 = 1 \) :

1. Ordonnée : \[ y_1 = 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \]

2. Pente : \[ \text{pente} = 2 \cdot 2 \cdot 1 + 3 = 4 + 3 = 7 \]

Ainsi, le point de tangence est \( (1, 6) \) avec une pente de 7.

Importance et exemples d'utilisation

Le point de tangence est crucial dans divers domaines comme la physique, l'économie et l'ingénierie, où la compréhension du taux de variation instantané est nécessaire. Par exemple, en physique, la pente de la tangente peut représenter la vitesse lors de l'analyse des courbes de mouvement. En économie, elle peut aider à identifier le coût ou le revenu marginal sur une courbe de coût.

FAQ

1. Qu'est-ce que le point de tangence ?

   • Le point de tangence est l'endroit où une tangente touche une courbe. En ce point, la tangente a la même pente que la courbe.

2. Comment trouver la pente de la tangente ?

   • La pente de la tangente pour une fonction quadratique \( y = ax^2 + bx + c \) en un point \( x_1 \) est donnée par la dérivée \( 2ax_1 + b \).

3. Ce calculateur peut-il être utilisé pour d'autres types de fonctions ?

   • Ce calculateur est spécifiquement conçu pour les fonctions quadratiques. Pour d'autres types de fonctions, des formules différentes pour la pente et les coordonnées seront nécessaires.

Ce calculateur simplifie le processus de recherche du point de tangence, facilitant ainsi l'analyse des courbes quadratiques pour les étudiants, les enseignants et les professionnels.