拟合优度统计计算器

拟合优度是一种统计检验，用于确定一组观测值是否与一组期望值相匹配。它常用于假设检验，其中卡方检验是最常用的方法。此计算器有助于计算卡方统计量，这对于评估统计模型或分布的有效性至关重要。

历史背景

拟合优度的概念在 20 世纪初开始普及，卡尔·皮尔逊于 1900 年开发了卡方检验。此后，它已成为分类数据分析中使用最广泛的检验之一，尤其是在遗传学、市场营销和社会科学等领域。

计算公式

卡方检验的公式为：

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]

其中：

• \( \chi^2 \) 是卡方统计量
• \( O_i \) 是类别 \( i \) 的观测频率
• \( E_i \) 是类别 \( i \) 的期望频率

此检验的自由度 (df) 计算公式为：

\[ df = (n - 1) \]

其中：

• \( n \) 是类别数量。

示例计算

假设我们有以下掷骰子的观测值和期望值：

• 观测值：[15, 12, 18, 10, 20, 25]
• 期望值：[15, 15, 15, 15, 15, 15]

我们可以使用以下公式计算卡方值：

\[ \chi^2 = \frac{(15-15)^2}{15} + \frac{(12-15)^2}{15} + \frac{(18-15)^2}{15} + \frac{(10-15)^2}{15} + \frac{(20-15)^2}{15} + \frac{(25-15)^2}{15} \]

这导致卡方值为：

\[ \chi^2 = 0 + 0.6 + 0.6 + 1.67 + 1.67 + 6.67 = 10.24 \]

自由度：

\[ df = 6 - 1 = 5 \]

重要性和使用场景

拟合优度检验对于验证统计模型并确保数据与预期分布一致至关重要。它广泛应用于：

• 假设检验：检查样本数据是否符合特定的分布（例如，正态分布、二项分布）。
• 质量控制：确保观察到的生产率与预期的基准一致。
• 遗传学和生物学：测试观察到的遗传模式与孟德尔遗传预测的拟合度。

常见问题解答

1. 什么是一个好的卡方值？

   • 接近于零的卡方值表明观测值和期望值非常相似，这意味着模型拟合良好。较高的值表示拟合不良，表明数据与预期分布不符。

2. 自由度是什么意思？

   • 卡方检验中的自由度通常是类别数减一。它用于根据显著性水平（例如，0.05）确定检验的临界值。

3. 如何解释结果？

   • 将卡方值与基于自由度和显著性水平从卡方分布表中获得的临界值进行比较。如果卡方值大于临界值，则拒绝原假设（即数据符合模型）。

该计算器提供了一种计算卡方统计量的简便方法，并有助于理解观察到的数据是否符合预期的结果，从而有助于研究和分析中的决策。