Calculadora de Decomposição LU

A Calculadora de Decomposição LU é uma ferramenta poderosa usada para decompor uma matriz quadrada em duas matrizes triangulares, L (matriz triangular inferior) e U (matriz triangular superior). Essa decomposição é uma etapa fundamental na resolução de equações lineares, cálculo de determinantes e inversão de matrizes.

Histórico

A decomposição LU, também conhecida como fatoração LU, é um método utilizado em análise numérica há décadas. A técnica foi introduzida para melhorar a eficiência na resolução de sistemas de equações lineares, o que é crucial em diversos campos como engenharia, física e economia.

Fórmula de Cálculo

A decomposição LU envolve a decomposição de uma matriz A no produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U:

\[ A = L \times U \]

Onde L é uma matriz triangular inferior com uns na diagonal, e U é uma matriz triangular superior.

Exemplo de Cálculo

Dada uma matriz 3x3:

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 3 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

A decomposição LU resultaria nas matrizes L e U tais que:

\[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0.75 & 1 & 0 \ 0.5 & 0.5 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ U = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \ 0 & -0.25 & -0.5 \ 0 & 0 & 1.5 \end{pmatrix} \]

Importância e Cenários de Uso

A decomposição LU é essencial na álgebra linear numérica. É usada para soluções eficientes de sistemas lineares, especialmente quando a mesma matriz de coeficientes é usada com diferentes lados direitos. Também é fundamental em algoritmos para inversão de matrizes e cálculo de determinantes de matrizes.

Perguntas Frequentes

1. O que é decomposição LU?

   • Decomposição LU é a fatoração de uma matriz em uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U.

2. Por que a decomposição LU é importante?

   • Simplifica a resolução de sistemas de equações lineares, inversão de matrizes e cálculo de determinantes, tornando-a valiosa em matemática computacional.

3. A decomposição LU pode ser usada para todas as matrizes?

   • A decomposição LU funciona para matrizes quadradas. Algumas matrizes podem exigir pivoteamento parcial (PA = LU) para decompor corretamente.