벡터 외적 계산기

벡터 외적(vector product 또는 cross product라고도 함)은 3차원 공간의 두 벡터에 대한 이항 연산으로, 곱해지는 두 벡터 모두에 수직인 벡터(즉, 두 벡터가 포함된 평면에 대한 법선 벡터)를 생성합니다.

역사적 배경

벡터 외적의 개념은 19세기에 벡터 미적분의 일부로 도입되었습니다. 이는 물리학 및 공학에서 회전 효과, 자기장 및 전기장, 그리고 3차원 물체의 방향을 설명하는 데 중요한 도구입니다.

계산 공식

두 벡터 \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \)와 \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \)의 외적은 다음과 같이 주어집니다.

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

계산 예시

벡터 \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \)와 \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \)의 외적은 다음과 같습니다.

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

중요성 및 활용 사례

벡터 외적은 물리학 및 공학에서 힘의 토크, 대전된 입자에 대한 자기력을 결정하고, 두 벡터로 정의된 평면에 대한 수직 벡터를 결정해야 하는 많은 다른 응용 분야에 널리 사용됩니다.

자주 묻는 질문(FAQ)

1. 외적은 무엇을 알려줍니까?

   • 외적은 두 벡터가 형성하는 평면에 수직인 벡터에 대한 정보를 제공합니다. 그 크기는 두 벡터가 형성하는 평행사변형의 면적에 비례합니다.

2. 외적은 교환 법칙이 성립합니까?

   • 아니요, 외적은 교환 법칙이 성립하지 않습니다. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)는 \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \)와 같지 않으며, 사실 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \)입니다.