Z変換計算機

Z変換は離散時間信号処理において基本的なツールであり、離散信号をZ領域に変換します。この計算機を使用すると、数列とzの値を入力して、その数列のZ変換を計算できます。

歴史的背景

Z変換は1947年にW. Hurewiczによって導入され、以来、特に制御システムや信号処理において、デジタルシステムの解析と設計に不可欠なツールとなっています。

計算式

離散数列x[n]のZ変換X(z)は、次式で与えられます。

\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \]

ここで、zは複素数です。

計算例

数列x[n] = 1, 2, 3とz = 2の場合：

\[ X(z) = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^{-1} + 3 \cdot 2^{-2} = 1 + 1 + 0.75 = 2.75 \]

重要性と使用例

Z変換は、差分方程式を解き、線形時不変システムを解析し、デジタルフィルタを設計するために、デジタル信号処理と制御理論で広く使用されています。

よくある質問

1. Z変換とは何ですか？

   • Z変換は離散時間信号を複素周波数領域表現に変換し、システムの挙動に関する洞察を提供します。

2. 信号処理でZ変換はどのように使用されますか？

   • システムの解析と設計、線形差分方程式の解法、システムの安定性と周波数応答の決定に使用されます。

3. Z変換とフーリエ変換の違いは何ですか？

   • 両方の変換とも周波数領域で信号を解析しますが、Z変換は追加の複素変数を含めることでフーリエ変換を一般化し、システムの解析においてより高い柔軟性を提供します。

この計算機は、デジタル信号処理と制御システムの分野で働く技術者や学生にとって貴重なツールです。