Calculateur d'erreur de l'inégalité de Taylor

Contexte historique

La série de Taylor, nommée d'après le mathématicien Brook Taylor, est une représentation d'une fonction sous forme de somme infinie de termes calculés à partir de ses dérivées en un seul point. L'inégalité de Taylor donne une estimation de l'erreur lors de l'approximation d'une fonction en utilisant un nombre fini de termes de sa série de Taylor.

Formule de calcul

L'inégalité de Taylor fournit une borne pour le reste (erreur) lors de l'approximation d'une fonction \( f \) autour d'un point \( a \) en utilisant un polynôme de Taylor de degré \( n \) en un point \( x \). L'erreur \( E_n(x) \) est donnée par :

\[ E_n(x) \leq \frac{M \cdot |x - a|^{n+1}}{(n + 1)!} \]

Où :

• \( M \) est la valeur maximale de la dérivée \((n+1)\)-ième de \( f \) sur l'intervalle entre \( a \) et \( x \).
• \( |x - a| \) est la distance entre le point d'approximation \( x \) et le point de développement \( a \).
• \( n! \) est la factorielle de \( n \).

Calcul exemple

Supposons que nous voulions approximer \( \sin(x) \) autour de \( a = 0 \) en utilisant un polynôme de Taylor de degré 2 en \( x = 0,1 \). La troisième dérivée de \( \sin(x) \) est \( \cos(x) \), et la valeur maximale de \( |\cos(x)| \) sur l'intervalle de 0 à 0,1 est approximativement 1. Ainsi,

\[ E_2(0,1) \leq \frac{1 \times |0,1 - 0|^3}{3!} = \frac{0,001}{6} \approx 0,000167 \]

Importance et scénarios d'utilisation

L'estimation de l'erreur par l'inégalité de Taylor est cruciale en analyse numérique, permettant de comprendre à quel point un polynôme de Taylor approche une fonction. Ceci est particulièrement utile dans des domaines comme la physique et l'ingénierie, où les fonctions doivent souvent être approximées pour faciliter le calcul. Connaître l'erreur maximale permet de déterminer le degré requis du polynôme pour un niveau de précision souhaité.

FAQ

1. Pourquoi avons-nous besoin de l'inégalité de Taylor ?

   • L'inégalité de Taylor fournit un moyen d'estimer l'erreur lors de l'approximation de fonctions avec des polynômes de Taylor, donnant confiance en la précision de l'approximation.

2. Que représente la valeur \( M \) ?

   • \( M \) est la valeur absolue maximale de la dérivée \((n+1)\)-ième de la fonction sur l'intervalle. Elle fournit une borne supérieure sur la façon dont le comportement d'ordre supérieur de la fonction affecte l'erreur.

3. Comment puis-je trouver la valeur maximale de la dérivée ?

   • Trouver la valeur maximale nécessite d'analyser la dérivée de la fonction sur l'intervalle. Cela implique souvent des techniques de calcul telles que la prise de dérivées supplémentaires pour trouver les points critiques.

4. L'erreur est-elle toujours inférieure à la borne donnée par l'inégalité de Taylor ?

   • Oui, la borne fournie par l'inégalité de Taylor est une limite supérieure. L'erreur réelle peut être plus petite, mais ne dépassera pas cette borne.