Calculatrice de la formule de Stirling

Contexte historique

L'approximation de Stirling, introduite par le mathématicien écossais James Stirling en 1730, fournit un moyen d'estimer les factorielles de grands nombres. Les factorielles croissent très rapidement, et leur calcul direct peut être fastidieux. La formule de Stirling simplifie ces calculs en utilisant une approximation logarithmique, la rendant très utile dans des domaines tels que les statistiques, la physique et les mathématiques computationnelles.

Formule de calcul

L'approximation de Stirling pour la factorielle d'un grand nombre \( n \) est donnée par :

\[ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

Où :

• \( n! \) est la factorielle de \( n \),
• \( \pi \) est Pi (environ 3,14159),
• \( e \) est le nombre d'Euler (environ 2,71828).

Exemple de calcul

Pour \( n = 10 \) :

\[ 10! \approx \sqrt{2 \pi \cdot 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \] \[ 10! \approx \sqrt{62,8319} \cdot 4,539992976 \times 10^5 \] \[ 10! \approx 7,937 \times 453 999,2976 \approx 3 991 683,96 \]

Cette approximation est proche de la valeur réelle de \( 10! = 3 628 800 \).

Importance et scénarios d'utilisation

L'approximation de Stirling est essentielle pour simplifier les calculs impliquant de grandes factorielles. Elle est particulièrement utile dans les scénarios suivants :

• Théorie des probabilités : Les calculs en combinatoire et en probabilité nécessitent souvent des factorielles de grands nombres.
• Statistiques : Utilisée dans la dérivation d'approximations pour les coefficients et les distributions binomiaux.
• Physique et chimie : Pour calculer les fonctions de partition et les états en mécanique statistique.
• Analyse de la complexité : Pour analyser les algorithmes où les factorielles jouent un rôle, l'approximation de Stirling donne une forme maniable.

FAQ courantes

1. Pourquoi la formule de Stirling est-elle utile ?

   • La formule de Stirling est utile car elle fournit une approximation simple pour les grandes factorielles, qui peuvent autrement être difficiles à calculer directement.

2. Quelle est la précision de l'approximation de Stirling ?

   • L'approximation devient plus précise lorsque \( n \) augmente. Pour les grandes valeurs de \( n \), l'erreur diminue significativement.

3. Peut-on utiliser l'approximation de Stirling pour les petites valeurs de \( n \) ?

   • L'approximation de Stirling est moins précise pour les petites valeurs de \( n \). Elle est principalement recommandée pour les grandes valeurs de \( n \), généralement \( n > 5 \).

Cette calculatrice fournit un moyen facile d'utiliser la formule de Stirling pour les grandes valeurs de \( n \), rendant les factorielles complexes maniables pour les applications scientifiques et mathématiques.