Calculatrice des nombres de Stirling
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Contexte historique
Les nombres de Stirling, introduits par James Stirling au XVIIIe siècle, interviennent en combinatoire et dans l'étude du partitionnement des ensembles. Les nombres de Stirling de seconde espèce, notés \( S(n, k) \), représentent le nombre de façons de partitionner un ensemble de \( n \) objets en \( k \) sous-ensembles non vides. Ce concept est fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en algèbre et en théorie des nombres.
Formule de calcul
La formule récursive pour les nombres de Stirling de seconde espèce est la suivante :
\[ S(n, k) = k \cdot S(n - 1, k) + S(n - 1, k - 1) \]
Conditions aux limites : \[ S(n, n) = S(n, 1) = 1, \quad S(n, 0) = 0 \text{ pour } n > 0 \]
Calcul d'exemple
Calculons \( S(4, 2) \), le nombre de façons de partitionner un ensemble de 4 éléments en 2 sous-ensembles non vides.
En utilisant la formule :
\[ S(4, 2) = 2 \cdot S(3, 2) + S(3, 1) \]
\[ S(3, 2) = 2 \cdot S(2, 2) + S(2, 1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \] \[ S(3, 1) = 1 \]
Donc : \[ S(4, 2) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \]
Importance et scénarios d'utilisation
Les nombres de Stirling jouent un rôle essentiel en combinatoire et en théorie des probabilités. Ils sont utilisés dans :
- Le partitionnement des ensembles en optimisation combinatoire
- L'étude de la distribution d'objets dans différents groupes
- L'analyse des développements polynomiaux
- Des applications dans les algorithmes, notamment dans la répartition des tâches entre les processeurs
FAQ courantes
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Que sont les nombres de Stirling de seconde espèce ? Les nombres de Stirling de seconde espèce, \( S(n, k) \), comptent le nombre de façons de partitionner un ensemble de \( n \) éléments en \( k \) sous-ensembles non vides.
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Comment les nombres de Stirling sont-ils appliqués dans la vie réelle ? Les nombres de Stirling apparaissent dans les problèmes impliquant le groupement ou le partitionnement, tels que la division des personnes en équipes, l'attribution de tâches aux travailleurs ou l'étude du clustering de données en apprentissage automatique.
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Quelle est la différence entre les nombres de Stirling de première et de seconde espèce ? Les nombres de Stirling de seconde espèce comptent les partitions d'ensembles, tandis que les nombres de Stirling de première espèce comptent le nombre de permutations avec un nombre donné de cycles.