Calculateur d'amplitude de la fonction de transfert

La calculatrice de magnitude de fonction de transfert permet de déterminer la réponse en magnitude d'une fonction de transfert à une fréquence donnée, concept important en automatique et en traitement du signal.

Contexte historique

Les fonctions de transfert sont utilisées en ingénierie depuis le développement précoce de la théorie du contrôle au XXe siècle. Elles représentent la relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire invariant dans le temps (LIT). Le calcul de la magnitude d'une fonction de transfert est crucial pour comprendre la réponse fréquentielle des systèmes, concept introduit par des ingénieurs comme Harry Nyquist et Hendrik Bode.

Formule de calcul

La magnitude d'une fonction de transfert \( H(j\omega) \) à une fréquence angulaire donnée \( \omega \) peut être déterminée en utilisant :

\[ |H(j\omega)| = \frac{|N(j\omega)|}{|D(j\omega)|} \]

où \( N(j\omega) \) et \( D(j\omega) \) sont les polynômes du numérateur et du dénominateur évalués à la fréquence complexe \( j\omega \). La magnitude est calculée comme le rapport des magnitudes de ces polynômes.

Exemple de calcul

Supposons que la fonction de transfert soit :

\[ H(s) = \frac{1 + 5s + 6s^2}{1 + 2s + 3s^2} \]

À une fréquence de \( \omega = 2 \, \text{rad/s} \):

1. Calculer la magnitude du numérateur \( N(j\omega) \): \[ N(j2) = 1 + 5 \times j2 + 6 \times (j2)^2 \]
2. Calculer la magnitude du dénominateur \( D(j\omega) \): \[ D(j2) = 1 + 2 \times j2 + 3 \times (j2)^2 \]
3. Calculer le rapport des magnitudes \( |H(j2)| \).

Importance et scénarios d'utilisation

La magnitude d'une fonction de transfert est cruciale dans l'analyse de la réponse fréquentielle, aidant les ingénieurs à comprendre comment les systèmes réagissent à différentes fréquences. Ceci est particulièrement utile pour :

• Conception de systèmes de contrôle: Réglage des contrôleurs en fonction de la réponse fréquentielle.
• Traitement du signal: Filtrage des signaux en comprenant le gain à différentes fréquences.
• Analyse de stabilité: Détermination du comportement du système pour garantir la stabilité pour toutes les fréquences d'entrée.

FAQ courantes

1. Qu'est-ce qu'une fonction de transfert ?

   • Une fonction de transfert représente la relation entre l'entrée et la sortie d'un système dans le domaine de Laplace, généralement utilisée pour les systèmes linéaires invariants dans le temps.

2. Pourquoi la magnitude est-elle importante dans les fonctions de transfert ?

   • La magnitude indique de combien le signal de sortie est amplifié ou atténué par rapport à l'entrée, en fonction de la fréquence. Elle est fondamentale pour comprendre les performances du système à différentes fréquences.

3. Comment puis-je interpréter le résultat de la magnitude ?

   • Une magnitude élevée signifie que le système amplifie l'entrée à cette fréquence, tandis qu'une magnitude faible signifie qu'il atténue l'entrée. Ceci est essentiel pour des applications comme le filtrage et l'analyse de stabilité.

Cette calculatrice est un outil utile pour les étudiants et les ingénieurs, fournissant des informations rapides sur les caractéristiques fréquentielles des systèmes en théorie du contrôle et en traitement du signal.