Calculatrice de la règle de Leibniz

La règle de Leibniz est un outil utile en calcul différentiel pour dériver plusieurs fois le produit de deux fonctions. Cette calculatrice permet de saisir l'ordre de la dérivée et les fonctions \( f(x) \) et \( g(x) \) pour calculer le résultat de la règle de Leibniz.

Contexte historique

La règle de Leibniz, nommée d'après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz, est largement utilisée pour calculer la dérivée du produit de deux fonctions. Elle généralise la règle du produit aux dérivées d'ordre supérieur.

Formule de calcul

La formule de la règle de Leibniz est donnée par :

\[ \frac{d^n}{dx^n} [f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}} f(x) \cdot \frac{d^k}{dx^k} g(x) \]

Où :

• \( n \) est l'ordre de la dérivée.
• \( \binom{n}{k} \) est le coefficient binomial.

Exemple de calcul

Par exemple, si \( n = 2 \), \( f(x) = x^2 \), et \( g(x) = e^x \) :

\[ \frac{d^2}{dx^2} [x^2 \cdot e^x] = \frac{d^2}{dx^2} (x^2) \cdot e^x + 2 \cdot \frac{d}{dx} (x^2) \cdot \frac{d}{dx} (e^x) + x^2 \cdot \frac{d^2}{dx^2} (e^x) \]

Importance et scénarios d'utilisation

Cette règle est particulièrement importante dans des domaines comme la physique et l'ingénierie, où des fonctions complexes doivent souvent être différentiées plusieurs fois.

FAQ

1. À quoi sert la règle de Leibniz ?

   • Elle sert à trouver la dérivée n-ième du produit de deux fonctions.

2. Quelles sont les conditions préalables pour comprendre la règle de Leibniz ?

   • Une compréhension de base de la différentiation et de la règle du produit en calcul différentiel.

3. Cette règle peut-elle être utilisée pour plus de deux fonctions ?

   • La règle telle que présentée est spécifiquement pour le produit de deux fonctions, mais elle peut être étendue à plus de fonctions en utilisant des principes similaires.

Cette calculatrice simplifie l'application de la règle de Leibniz, facilitant le calcul des dérivées de fonctions produits en calcul différentiel avancé.