Calculatrice d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Contexte historique

Le processus de Gram-Schmidt, introduit par Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt, est un algorithme fondamental en algèbre linéaire utilisé pour convertir un ensemble de vecteurs linéairement indépendants en un ensemble orthonormal. Cette méthode a des applications en analyse numérique, en mécanique quantique et en traitement du signal.

Formule de calcul

Le processus de Gram-Schmidt implique les étapes suivantes pour chaque vecteur \(v_i\) :

1. Soustraction des projections : \[ u_i = v_i - \sum_{j=1}^{i-1} \text{proj}_{u_j}(v_i) \] Où \(\text{proj}_{u_j}(v_i)\) est la projection de \(v_i\) sur le vecteur \(u_j\) précédemment calculé.

2. Normalisation du vecteur : \[ e_i = \frac{u_i}{|u_i|} \]

Calcul d'exemple

Pour deux vecteurs \(v_1 = (1, 0)\) et \(v_2 = (1, 1)\), en appliquant Gram-Schmidt :

1. Premier vecteur : \( u_1 = v_1 = (1, 0) \) Normalisation : \( e_1 = \frac{(1, 0)}{|1, 0|} = (1, 0) \)

2. Second vecteur : Soustraction de la projection de \(v_2\) sur \(e_1\) : \[ u_2 = v_2 - \text{proj}_{e_1}(v_2) = (1, 1) - \left( \frac{1 \cdot (1, 0)}{1} \right) = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1) \] Normalisation : \( e_2 = \frac{(0, 1)}{|0, 1|} = (0, 1) \)

Les vecteurs orthonormaux sont \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (0, 1)\).

Importance et scénarios d'utilisation

Le processus de Gram-Schmidt est essentiel pour convertir tout ensemble linéairement indépendant de vecteurs en une base orthonormale, simplifiant de nombreux problèmes de calculs numériques, de physique et d'ingénierie. Ce processus est largement utilisé dans la factorisation QR des matrices, le traitement du signal (par exemple, dans le multiplexage par répartition orthogonale de fréquences) et la construction de suites de polynômes orthonormaux.

FAQ courantes

1. Quel est le but de l'orthonormalisation de Gram-Schmidt ? Le but est de prendre un ensemble de vecteurs linéairement indépendants et de les convertir en un ensemble orthonormal, où tous les vecteurs sont orthogonaux les uns aux autres et ont une norme unitaire.

2. Pourquoi l'orthonormalisation est-elle importante ? Les vecteurs orthonormaux simplifient les calculs dans divers domaines, tels que la résolution de systèmes linéaires, et sont cruciaux dans des applications telles que l'analyse spectrale et l'infographie.

3. Le processus de Gram-Schmidt peut-il échouer ? Le processus exige que l'ensemble initial de vecteurs soit linéairement indépendant. S'ils ne le sont pas, le processus produira un vecteur nul, signalant un échec.

4. Comment Gram-Schmidt est-il lié à la décomposition QR ? Le processus de Gram-Schmidt est une étape fondamentale dans la décomposition QR des matrices, qui décompose une matrice en une matrice orthogonale \(Q\) et une matrice triangulaire supérieure \(R\).