Calculatrice du théorème de Cayley-Hamilton

Contexte historique

Le théorème de Cayley-Hamilton est un résultat fondamental de l'algèbre linéaire, découvert indépendamment par les mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton au XIXe siècle. Il énonce que toute matrice carrée satisfait sa propre équation caractéristique. Ce théorème est crucial pour la compréhension de la théorie des matrices et a des applications pratiques dans des domaines tels que les systèmes d'équations linéaires, la théorie du contrôle et la mécanique quantique.

Formule de calcul

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que pour une matrice \( A \), le polynôme caractéristique \( p_A(\lambda) \) est donné par :

\[ p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) \]

Où \( I \) est la matrice identité, et \( \det \) désigne le déterminant. La matrice satisfait l'équation :

\[ p_A(A) = 0 \]

Calcul d'exemple

Étant donné une matrice 2x2 :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Le polynôme caractéristique est :

\[ \det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda - 2 & -1 \ -1 & \lambda - 3 \end{pmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

La matrice satisfait le théorème de Cayley-Hamilton, car la substitution de \( A \) dans son polynôme caractéristique donne la matrice nulle.

Importance et scénarios d'utilisation

Le théorème de Cayley-Hamilton simplifie les calculs liés aux fonctions matricielles, aux puissances de matrices et à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Il a des applications dans les équations différentielles linéaires, la théorie du contrôle et la mécanique quantique, où les exponentielles de matrices et des fonctions similaires sont utilisées.

FAQ courantes

1. Qu'est-ce qu'un polynôme caractéristique ?

   • Le polynôme caractéristique d'une matrice est un polynôme dont les racines sont les valeurs propres de la matrice. Il est calculé comme \( \det(\lambda I - A) \).

2. Comment le théorème de Cayley-Hamilton aide-t-il dans les applications pratiques ?

   • Il permet d'exprimer les puissances supérieures d'une matrice en termes de puissances inférieures, simplifiant les calculs en algèbre linéaire, systèmes de contrôle et mécanique quantique.

3. Le théorème s'applique-t-il à toutes les matrices ?

   • Oui, le théorème de Cayley-Hamilton s'applique à toutes les matrices carrées, quelle que soit leur taille ou le corps sur lequel elles sont définies.