Calculatrice de la formule de Binet

La formule de Binet fournit une méthode directe pour calculer n'importe quel terme de la suite de Fibonacci sans avoir à calculer les termes précédents. Nommée d'après le mathématicien français Jacques Philippe Marie Binet, elle utilise le nombre d'or pour approximer les nombres de Fibonacci.

Contexte historique

La formule de Binet a été découverte au XIXe siècle et constitue une solution élégante au problème de la recherche des nombres de Fibonacci. La suite de Fibonacci elle-même remonte aux travaux du mathématicien Léonard de Pise (Fibonacci) du XIIIe siècle.

Explication de la formule

La formule de Binet est :

\[ F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \]

Où :

• \( \phi \) (phi) est le nombre d'or \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \).
• \( \psi \) (psi) est \( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \).
• \( n \) est le numéro du terme.

Calcul d'exemple

Pour \( n = 10 \), la formule calcule :

\[ F(10) = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{10} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{10}}{\sqrt{5}} \approx 55 \]

Cela correspond au 10e nombre de Fibonacci.

Importance et utilisation

Cette calculatrice est utile pour déterminer rapidement les nombres de Fibonacci sans itérer sur la suite. L'approximation devient de plus en plus précise à mesure que \( n \) augmente.

FAQ

1. Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?

   • La suite de Fibonacci est une série de nombres où chaque nombre est la somme des deux précédents, généralement commençant par 0 et 1.

2. Quelle est la précision de la formule de Binet ?

   • La formule de Binet est exacte pour toutes les valeurs entières positives de \( n \) en raison de l'arrondi des composantes irrationnelles.

3. Puis-je utiliser cette formule pour les grandes valeurs de \( n \) ?

   • Oui, la formule est efficace même pour les grandes valeurs de \( n \), bien que la précision du calcul puisse affecter les résultats pour les termes très grands.