Calculatrice de l'équation de Bateman

L'équation de Bateman est utilisée en physique nucléaire pour décrire la quantité de noyaux fils produits à partir d'une substance mère radioactive au cours du temps, en tenant compte des différents taux de désintégration.

Contexte historique

L'équation de Bateman, introduite par le physicien Harry Bateman en 1910, est fondamentale pour décrire la désintégration radioactive séquentielle. Elle est largement utilisée dans divers domaines comme la radiologie, le génie nucléaire et l'astrophysique pour suivre les chaînes de désintégration et comprendre la distribution des isotopes au cours du temps.

Formule de calcul

L'équation de Bateman pour une chaîne de désintégration à deux nucléides peut s'exprimer ainsi :

\[ N_2(t) = \frac{N_0 \lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} \left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right) \]

Où :

• \( N_2(t) \) est la quantité de noyaux fils au temps \( t \).
• \( N_0 \) est le nombre initial de noyaux parents.
• \( \lambda_1 \) et \( \lambda_2 \) sont les constantes de désintégration des noyaux parents et fils, respectivement.
• \( t \) est le temps.

Exemple de calcul

Supposons :

• Noyaux parents initiaux (\( N_0 \)) = 1000,
• Constante de désintégration du parent (\( \lambda_1 \)) = 0,01,
• Constante de désintégration du fils (\( \lambda_2 \)) = 0,02,
• Temps (\( t \)) = 10 secondes.

La quantité de noyaux fils produits après 10 secondes est :

\[ N_2(10) = \frac{1000 \times 0,01}{0,02 - 0,01} \left(e^{-0,01 \times 10} - e^{-0,02 \times 10}\right) \] \[ N_2(10) \approx \frac{10}{0,01} \times \left(0,9048 - 0,8187\right) = 1000 \times 0,0861 = 86,1 \]

Importance et scénarios d'utilisation

• Médecine nucléaire : Utilisée pour estimer la désintégration des isotopes pendant la radiothérapie.
• Astrophysique : Aide à modéliser les chaînes de désintégration des isotopes radioactifs dans les étoiles.
• Génie nucléaire : Essentielle pour le calcul de la gestion des déchets et de la sûreté des réacteurs nucléaires.

FAQ courantes

1. Qu'est-ce qu'une constante de désintégration ?

   • C'est la probabilité par unité de temps qu'un noyau se désintègre, exprimée en temps inverse (par exemple, par seconde).

2. Pourquoi l'équation de Bateman est-elle importante ?

   • Elle permet la modélisation précise des chaînes de désintégration nucléaire, ce qui est essentiel dans des domaines comme la physique nucléaire, la médecine et la sécurité de l'environnement.

3. Comment l'équation de Bateman est-elle appliquée dans des scénarios réels ?

   • Elle est utilisée pour prédire la contamination radioactive au cours du temps, évaluer les dosages en médecine nucléaire et analyser les rapports isotopiques dans les phénomènes astrophysiques.