حاسبة المتوسط الهندسي

المتوسط الهندسي مقياس إحصائي حيوي، مفيد بشكل خاص عند مقارنة عناصر مختلفة ذات خصائص متنوعة، ويُطبق بشكل شائع في المالية والعلوم الاجتماعية والأحياء.

الخلفية التاريخية

يعود مفهوم المتوسط الهندسي إلى العصور القديمة، حيث استخدمه علماء الرياضيات اليونانيون لأغراض متنوعة، بما في ذلك بناء النسب المتناسبة الهندسية، وهي أساسية في الهندسة الإقليدية.

صيغة الحساب

يحسب المتوسط الهندسي لمجموعة من الأعداد \(n\) باستخدام الصيغة:

\[ \text{المتوسط الهندسي} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} \]

حيث:

• \(\prod\) تدل على حاصل ضرب مجموعة الأعداد،
• \(x_i\) هو العدد \(i\)-th في المجموعة،
• \(n\) هو العدد الإجمالي للقيم.

مثال على الحساب

بالنظر إلى الأعداد 1.618، 2، 3.14، 5.382، 8.5، 13، 21، 34.77، و 55، فإن المتوسط الهندسي هو:

\[ \text{المتوسط الهندسي} = \left( 1.618 \times 2 \times 3.14 \times 5.382 \times 8.5 \times 13 \times 21 \times 34.77 \times 55 \right)^{\frac{1}{9}} \]

أهمية وسيناريوهات الاستخدام

يُعد المتوسط الهندسي مفيدًا بشكل خاص في الحالات التي تكون فيها العناصر التي يتم مقارنتها ذات مقاييس أو وحدات مختلفة، كما هو الحال في معدلات النمو، أو المؤشرات المالية، أو المقارنات المعيارية. وهو يضمن عدم تأثر المتوسط المحسوب بشكل مفرط بالقيم المتطرفة.

الأسئلة الشائعة

1. ما هو الفرق بين المتوسط الهندسي والحسابي؟

   • يضرب المتوسط الهندسي الأعداد ويأخذ الجذر \(n\)-th، بينما يجمع المتوسط الحسابي الأعداد ويقسمها على العدد. يستخدم المتوسط الهندسي للنمو النسبي، بينما يستخدم المتوسط الحسابي للنمو الإضافي.

2. هل يمكن للمتوسط الهندسي التعامل مع الأعداد السالبة؟

   • لا، لا يمكن حساب المتوسط الهندسي للمجموعات التي تتضمن أعدادًا سالبة لأنه ينطوي على أخذ جذر حاصل ضرب، وحاصل ضرب عدد زوجي من الأعداد السالبة سيكون موجبًا، مما يؤدي إلى غموض.

3. هل المتوسط الهندسي دائمًا أقل من المتوسط الحسابي؟

   • بشكل عام، يكون المتوسط الهندسي أقل من أو يساوي المتوسط الحسابي، مع المساواة فقط عندما تكون جميع الأعداد في المجموعة متشابهة.

تتيح هذه الآلة الحاسبة حساب المتوسط الهندسي بسهولة، مما يسهل تطبيقه في مختلف المجالات لكل من المحترفين والطلاب.