اختر آلة حاسبة (nCr): احسب التوافيق

تُمثّل دالة "الاختيار"، المُرمز لها بـ \(nCr\)، عدد التوافيق لاختيار \(r\) عنصرًا من مجموعة تتكون من \(n\) عنصرًا. يُعدّ هذا المفهوم أساسياً في علم التوافقيات، وهو فرع من الرياضيات يهتمّ بالعدّ وترتيب وتعداد عناصر المجموعة لتلبية معايير محددة.

الخلفية التاريخية

يعود تاريخ الدراسة الرياضية للتوافيق إلى قرون مضت، مع ظهور أمثلة مبكرة في الرياضيات الهندية والعربية واليونانية. وقد تمّ صياغة صيغة التوافيق، أو دالة "الاختيار" كما نعرفها اليوم، في القرن السابع عشر على يد عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال. وقد وضع عمل باسكال على المثلث الحسابي، المعروف الآن باسم مثلث باسكال، الأساس للرياضيات التوافقية الحديثة ودراسة المعاملات الثنائية، التي تُعدّ جوهرية لدالة \(nCr\).

صيغة الحساب

تُعطى الصيغة لحساب \(n\) اختيار \(r\) (\(nCr\)) بواسطة:

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} \]

حيث:

• \(n!\) يُشير إلى مضروب \(n\)،
• \(r!\) هو مضروب \(r\)،
• و \((n - r)!\) هو مضروب الفرق بين \(n\) و \(r\).

مثال على الحساب

على سبيل المثال، إذا أردت معرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكنك من خلالها اختيار عنصرين من مجموعة تتكون من 4 عناصر (\(n = 4, r = 2\))، فسيكون الحساب كما يلي:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6 \]

هذا يعني أن هناك 6 طرق مختلفة لاختيار عنصرين من أربعة.

أهمية وسيناريوهات الاستخدام

يُعدّ مفهوم التوافيق أساسياً في العديد من المجالات، بما في ذلك الرياضيات والإحصاء وعلوم الكمبيوتر والفيزياء. فهو يسمح بحساب الاحتمالات، وترتيب البيانات، وحل مسائل العدّ دون الحاجة إلى تعداد جميع النتائج الممكنة. وهذا مفيد بشكل خاص في السيناريوهات المعقدة، مثل تحديد الاختلافات الجينية، أو حساب احتمالات اليانصيب، أو تحسين خوارزميات الكمبيوتر.

أسئلة شائعة

1. ما الذي يميز التوافيق عن التباديل؟

   • تركّز التوافيق على اختيار العناصر دون مراعاة الترتيب، بينما تراعي التباديل ترتيب الاختيار. في التوافيق، \(AB\) هو نفسه \(BA\)، بينما في التباديل، هما مختلفان.

2. هل من الممكن أن يكون \(nCr\) أكبر من \(n\)?

   • لا، \(nCr\) يمثل عدد طرق اختيار \(r\) عنصرًا من \(n\)، لذلك لا يمكن أن يتجاوز العدد الإجمالي للعناصر \(n\).

3. كيف تعمل دالة المضروب (\(!\))؟

   • مضروب عدد \(n\) (\(n!\)) هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى \(n\). على سبيل المثال، \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\).

تُتيح هذه الآلة الحاسبة طريقة مباشرة لحساب التوافيق، مما يُزيل الغموض عن العملية للطلاب والمعلمين والمهنيين على حد سواء، مما يُسهّل الفهم والتطبيق الأعمق لهذا المفهوم الرياضي.