Calculadora do método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é uma técnica poderosa usada para encontrar, sucessivamente, melhores aproximações para as raízes (ou zeros) de uma função valorada real.

Histórico

Foi originalmente proposto por Isaac Newton em 1669 e refinado, posteriormente, por Joseph Raphson em 1690. Esse método se tornou essencial na análise numérica para resolver equações. Ele é estimado por sua simplicidade e eficiência, principalmente em matemática computacional.

Fórmula de cálculo

A fórmula de Newton-Raphson é:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

Onde:

• \(x_n\) é a aproximação atual.
• \(f(x_n)\) é o valor da função em \(x_n\).
• \(f'(x_n)\) é o valor da derivada da função em \(x_n\).

Exemplo de cálculo

Considere a função \(f(x) = x^2 - 4\) com uma estimativa inicial de \(x_0 = 2\).

1. Calcule \(f(x_0) = 2^2 - 4 = 0\).
2. Calcule a derivada \(f'(x) = 2x\) e \(f'(x_0) = 4\).
3. Aplique a fórmula: \(x_1 = 2 - \frac{0}{4} = 2\).

Como \(f(x_1) = 0\), encontramos a raiz.

Importância e cenários de uso

Esse método é essencial para:

1. Resolver equações não lineares: onde soluções analíticas não são factíveis.
2. Engenharia e ciência: para aproximar soluções em vários campos.
3. Problemas de otimização: em aprendizado de máquina e estatística.

FAQs comuns

1. O que acontece se a derivada for zero?

   • O método falha, pois leva à divisão por zero. É necessário um ponto de partida ou método diferente.

2. A convergência é garantida?

   • Nem sempre. A convergência depende da função e da estimativa inicial.

3. Ele consegue encontrar todas as raízes da função?

   • Ele encontra uma raiz com base no ponto de partida. Outras raízes requerem diferentes pontos de partida ou métodos.