آلة حاسبة جداء المتجه الاتجاهي

جداء الضرب الاتجاهي، المعروف أيضًا باسم الجداء الاتجاهي أو الجداء المتجهي، هو عملية ثنائية على متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد. ينتج عنه متجه عمودي على كلا المتجهين المضروبين معًا، وبالتالي يكون عاملاً طبيعياً للسطوح التي تحتويهما.

الخلفية التاريخية

تم تقديم مفهوم الجداء الاتجاهي كجزء من حساب المتجهات في القرن التاسع عشر. إنه أداة أساسية في الفيزياء والهندسة لوصف التأثيرات الدورانية، والمجالات المغناطيسية والكهربائية، واتجاه الأجسام ثلاثية الأبعاد.

صيغة الحساب

يُعطى الجداء الاتجاهي لمتجهين \( \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + b_1\mathbf{j} + c_1\mathbf{k} \) و \( \mathbf{B} = a_2\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + c_2\mathbf{k} \) بواسطة:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf{i} + (c_1a_2 - a_1c_2)\mathbf{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\mathbf{k} \]

مثال على الحساب

بالنسبة للمتجهات \( \mathbf{A} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \) و \( \mathbf{B} = 4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} \)، يكون الجداء الاتجاهي:

\[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = (1 \times 1 - 3 \times 2)\mathbf{i} + (3 \times 4 - 4 \times 1)\mathbf{j} + (4 \times 2 - 1 \times 4)\mathbf{k} = -5\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 4\mathbf{k} \]

الأهمية وسيناريوهات الاستخدام

يستخدم الجداء الاتجاهي على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة لتحديد عزم القوة، والقوة المغناطيسية على جسيم مشحون، والعديد من التطبيقات الأخرى حيث يكون تحديد المتجه العمودي على السطح المعرفة بواسطة متجهين ضروريًا.

الأسئلة الشائعة

1. ماذا يخبرنا الجداء الاتجاهي؟

   • يوفر الجداء الاتجاهي معلومات حول المتجه العمودي على السطح الذي شكله المتجهان. يمثل مقداره مساحة متوازي الأضلاع الذي يمتد عبر المتجهين.

2. هل الجداء الاتجاهي تبديلي؟

   • لا، الجداء الاتجاهي ليس تبديليًا. \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \) لا يساوي \( \mathbf{B} \times \mathbf{A} \)؛ في الواقع، \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -(\mathbf{B} \times \mathbf{A}) \).