آلة حاسبة طريقة نيوتن-رافسون

طريقة نيوتن-رافسون تقنية فعّالة تُستخدم لإيجاد تقريبات متتالية أفضل لجذور (أو أصفار) دالة ذات قيمة حقيقية.

الخلفية التاريخية

اقترحها إسحاق نيوتن في عام ١٦٦٩، ثم طَوَّرها جوزيف رافسون في عام ١٦٩٠، وأصبحت هذه الطريقة حجر الزاوية في التحليل العددي لحل المعادلات. وهي تُقدَّر ببساطتها وكفاءتها، خاصة في الرياضيات الحسابية.

صيغة الحساب

صيغة نيوتن-رافسون هي:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

حيث:

• \( x_n \) هو التقريب الحالي.
• \( f(x_n) \) هي قيمة الدالة عند \( x_n \).
• \( f'(x_n) \) هي قيمة مشتقة الدالة عند \( x_n \).

مثال على الحساب

لنعتبر الدالة \( f(x) = x^2 - 4 \) مع تقدير أولي لـ \( x_0 = 2 \).

1. نحسب \( f(x_0) = 2^2 - 4 = 0 \).
2. نحسب المشتقة \( f'(x) = 2x \) و \( f'(x_0) = 4 \).
3. نطبق الصيغة: \( x_1 = 2 - \frac{0}{4} = 2 \).

بما أن \( f(x_1) = 0 \)، فقد وجدنا الجذر.

أهمية وسيناريوهات الاستخدام

هذه الطريقة أساسية ل:

1. حل المعادلات غير الخطية: حيث لا توجد حلول تحليلية ممكنة.
2. الهندسة والعلوم: لتقريب الحلول في مختلف المجالات.
3. مشاكل التحسين: في تعلم الآلة والإحصاء.

الأسئلة الشائعة

1. ماذا يحدث إذا كانت المشتقة تساوي صفرًا؟

   • تفشل الطريقة لأنها تؤدي إلى القسمة على صفر. هناك حاجة إلى نقطة بداية أو طريقة مختلفة.

2. هل التقارب مضمون؟

   • ليس دائمًا. يعتمد التقارب على الدالة والتقدير الأولي.

3. هل يمكنها إيجاد جميع جذور الدالة؟

   • تجد جذرًا واحدًا بناءً على نقطة البداية. تتطلب الجذور الأخرى نقاط بداية أو طرق مختلفة.