حاسبة جيب التمام الزائدي

دالة جيب التمام الزائدي (cosh) دالة أساسية في الرياضيات، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدالة الأسية. وعلى عكس جيب التمام المثلثي، يُعرّف جيب التمام الزائدي باستخدام الدالة الأسية.

الخلفية التاريخية

ظهر مفهوم الدوال الزائدية في القرن الثامن عشر. هذه الدوال هي نظائر للدوال المثلثية أو الدائرية العادية، ولكنها تستند إلى الزوائد بدلاً من الدوائر. صاغ يوهان هاينريش لامبرت مصطلح "الدوال الزائدية" في ستينيات القرن الثامن عشر، مُدركًا علاقتها بالزائد بطريقة مشابهة لعلاقة الدوال المثلثية بالدائرة.

صيغة الحساب

يُعرّف جيب التمام الزائدي على النحو التالي:

\[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

حيث:

• \(e\) هو أساس اللوغاريتم الطبيعي،
• \(x\) هي القيمة التي تحسب لها جيب التمام الزائدي.

مثال على الحساب

بالنسبة إلى \(x = 1\)، يُحاسب جيب التمام الزائدي على النحو التالي:

\[ \cosh(1) = \frac{e^1 + e^{-1}}{2} \approx 1.54308063481524 \]

أهمية وحالات الاستخدام

يُعد جيب التمام الزائدي ذا أهمية حاسمة في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة، بما في ذلك دراسة الهندسة الزائدية، وحلول المعادلات التفاضلية، وفي وصف شكل الكابل أو السلسلة المعلقة، المعروف باسم القطع المكافئ السلسلي. كما يظهر في نظرية النسبية الخاصة وميكانيكا الكم.

الأسئلة الشائعة

1. ما هو الفرق بين جيب التمام الزائدي وجيب التمام المثلثي؟

   • يستند جيب التمام الزائدي إلى الزوائد، باستخدام الدوال الأسية، بينما يستند جيب التمام المثلثي إلى الدوال الدائرية.

2. هل جيب التمام الزائدي دالة زوجية أم فردية؟

   • جيب التمام الزائدي دالة زوجية، مما يعني أن \( \cosh(-x) = \cosh(x) \).

3. هل يمكن استخدام الدوال الزائدية لنمذجة الظواهر الواقعية؟

   • نعم، تُستخدم في العديد من التطبيقات الفيزيائية والهندسية، مثل تصميم الأقواس والجسور لتحديد شكل الكابلات تحت قوة الجاذبية المنتظمة (القطع المكافئ السلسلي).

يوفر هذا الحاسبة طريقة سهلة لحساب جيب التمام الزائدي لقيمة معينة، مما يساعد كل من المشاريع التعليمية والمهنية.