حاسبة دالة غاما

تُعَدُّ دالة غاما (Γ(n)) ذات دورٍ هامٍّ في الرياضيات والعلوم، حيثُ تُمَثِّل امتدادًا مستمرًا لدالة عاملي الأعداد إلى ما بعد الأعداد الصحيحة الموجبة لتشمل الأعداد الحقيقية والمعقدة. يُعطى تعريفها للأعداد الحقيقية الأكبر من الصفر بواسطة تكامل:

الخلفية التاريخية

أُدخِلَ مفهوم دالة غاما لأول مرة بواسطة ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر. كان أويلر يبحث عن طريقة لتوسيع دالة العاملية، التي تُعرَّف فقط للأعداد الطبيعية، لتشمل جميع الأعداد الحقيقية والمعقدة. وقد أدى ذلك إلى إدخال دالة غاما، التي أصبحت منذ ذلك الحين حجر الزاوية في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء.

صيغة الحساب

تُعرَّف دالة غاما لعدد حقيقي موجب x بالتكامل التالي:

\[ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt \]

بالنسبة للأعداد الصحيحة غير الموجبة، يمكن توسيع الدالة باستخدام العلاقة Γ(n+1) = nΓ(n).

مثال على الحساب

يُعطى حساب دالة غاما للعدد 5 كالآتي:

\[ \Gamma(5) = 4! \]

حيث أن Γ(n) = (n-1)! لأي عدد طبيعي n، فإن Γ(5) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

الأهمية وحالات الاستخدام

تُستخدم دالة غاما في مجالات متنوعة مثل نظرية الاحتمالات (في توزيعات المتغيرات العشوائية)، والتحليل المعقد، وحل المعادلات التفاضلية. وهي ضرورية لحساب الاحتمالات، ونمذجة المواقف، وفهم خصائص الدوال في التحليل المعقد.

الأسئلة الشائعة

1. ما هو الفرق بين دالة غاما ودالة العاملية؟

   • تُعرَّف دالة العاملية فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، بينما تُوسِّع دالة غاما هذا المفهوم ليشمل جميع الأعداد الحقيقية والمعقدة، باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة.

2. كيف تُستخدم دالة غاما في الاحتمالات والإحصاء؟

   • تُستخدم في تعريف توزيعات الاحتمالات مثل توزيع غاما وتوزيع بيتا، اللذين يُمَثِّلان مجموعة واسعة من الظواهر.

3. هل يمكن أن تأخذ دالة غاما قيمًا سالبة؟

   • نعم، يمكن لدالة غاما أن تأخذ قيمًا سالبة لبعض المدخلات، وتحديدًا لبعض القيم السالبة غير الصحيحة.

يوفر هذا الحاسب لدالة غاما واجهة بسيطة لحساب دالة غاما للأعداد الحقيقية والمعقدة، مما يجعل هذه الدالة الرياضية المعقدة أكثر سهولة للطلاب والمهنيين في مختلف المجالات العلمية.