آلة حاسبة لإكمال المربع

إكمال المربع تقنية مستخدمة في الجبر لحل المعادلات التربيعية. تحول هذه الطريقة المعادلة التربيعية إلى ثلاثية حدود مربعة كاملة، مما يسهل حلها. يُعد هذا الأسلوب مفيدًا بشكل خاص للمعادلات التي لا تُعامل بسهولة ولتَوليد الصيغة التربيعية.

الخلفية التاريخية

تعود طريقة إكمال المربع إلى علماء الرياضيات القدماء، الذين استخدموا البراهين الهندسية لحل المعادلات التربيعية. وقد تم تطوير هذه التقنية بشكل أكبر في العصور الوسطى، مما ساهم بشكل كبير في الحلول الجبرية التي نستخدمها اليوم.

صيغة الحساب

لكي تُكمل المربع للمعادلة التربيعية \(ax^2 + bx + c = 0\)، نتبع هذه الخطوات:

1. اقسم جميع الحدود على \(a\) (إذا كان \(a \neq 1\)).
2. أعد ترتيب المعادلة لتكوين \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\).
3. أضف \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) إلى كلا الطرفين لإكمال المربع.
4. تصبح المعادلة الآن \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\).
5. حلّ بالنسبة إلى \(x\).

مثال حسابي

بالنظر إلى المعادلة التربيعية \(2x^2 + 8x + 6 = 0\)، فإن إكمال المربع يتضمن الخطوات التالية:

1. القسمة على \(2\): \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
2. إضافة \(\left(\frac{4}{2}\right)^2 - 3\) إلى كلا الطرفين: \(x^2 + 4x + 4 = 1\).
3. إعادة الكتابة كمربع كامل: \((x + 2)^2 = 1\).
4. حلّ بالنسبة إلى \(x\): \(x + 2 = \pm 1\)، وبالتالي \(x_1 = -1\) و \(x_2 = -3\).

الأهمية وحالات الاستخدام

يُعد إكمال المربع أمرًا بالغ الأهمية لحل المعادلات التربيعية، وتحليل الدوال التربيعية، وفهم خصائص القطع المكافئ. كما أنه أساسي لاشتقاق الصيغة التربيعية، ويُستخدم بشكل متكرر في حساب التفاضل والتكامل والفيزياء.

الأسئلة الشائعة

1. لماذا يُكمل المربع؟

   • إنه يوفر طريقة منهجية لحل أي معادلة تربيعية وهو ضروري لفهم بنية هذه المعادلات.

2. هل يمكن لإكمال المربع حل جميع المعادلات التربيعية؟

   • نعم، يمكنه حل أي معادلة تربيعية، بما في ذلك تلك التي لها حلول مركبة.

3. ماذا لو لم يكن معامل \(x^2\) يساوي 1؟

   • اقسم المعادلة بأكملها على معامل \(x^2\) لتبسيط عملية إكمال المربع.

تُسرّع هذه الآلة الحاسبة عملية إكمال المربع، مما يجعلها أكثر سهولة للطلاب والمعلمين وأي شخص مهتم بالجبر.