حاسبة نظرية الحد المركزي

تُعرف نظرية الحد المركزي (CLT) بأنها مبدأ أساسي في الإحصاء يصف كيف يصبح توزيع متوسطات العينات بشكل متزايد توزيعًا طبيعيًا مع زيادة حجم العينة، بغض النظر عن شكل توزيع المجتمع. هذه النظرية ضرورية لفهم مصداقية الاستنتاجات الإحصائية.

الخلفية التاريخية

يعود مفهوم نظرية الحد المركزي إلى أوائل القرن الثامن عشر، مع مساهمات كبيرة من أبراهام دي موفر، ثم تطويرات لاحقة من بيير سيمون لابلاس. لم يتم وضع النظرية بصورتها الحالية إلا في القرن العشرين، مما يبرز أهميتها في نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي.

صيغة الحساب

يُحسب الانحراف المعياري للعينة (s) من الانحراف المعياري للمجتمع (σ) وحجم العينة (n) على النحو التالي:

\[ s = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

لإعادة هندسة الانحراف المعياري للمجتمع أو حجم العينة، استخدم:

• الانحراف المعياري للمجتمع: \(\sigma = s \cdot \sqrt{n}\)
• حجم العينة: \(n = \left(\frac{\sigma}{s}\right)^2\)

مثال على الحساب

بالنسبة لانحراف معياري للمجتمع (σ) يساوي 20 وحجم عينة (n) يساوي 25، سيكون الانحراف المعياري للعينة (s):

\[ s = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4 \]

أهمية وسيناريوهات الاستخدام

إن فهم وتطبيق نظرية الحد المركزي أمر ضروري لإجراء تحليلات إحصائية دقيقة، خاصة في تحديد توزيع متوسطات العينات وتقدير معلمات المجتمع. تُستخدم على نطاق واسع في تحليل الاستطلاعات، ومراقبة الجودة، واختبار A/B من بين أمور أخرى.

الأسئلة الشائعة

1. ما هي أهمية نظرية الحد المركزي؟

   • تتيح للإحصائيين إجراء استنتاجات حول معلمات المجتمع باستخدام إحصائيات العينة، حتى بدون معرفة توزيع المجتمع.

2. كيف يؤثر حجم العينة على نظرية الحد المركزي؟

   • كلما زاد حجم العينة، اقترب توزيع متوسط العينة من التوزيع الطبيعي، مما يعزز دقة التقديرات الإحصائية.

3. هل يمكن تطبيق نظرية الحد المركزي على أي توزيع؟

   • نعم، تنطبق نظرية الحد المركزي بغض النظر عن شكل توزيع المجتمع، بشرط أن يكون حجم العينة كبيرًا بما فيه الكفاية.

هذه الآلة الحاسبة تبسط حساب الانحراف المعياري للعينة باستخدام نظرية الحد المركزي، وتُعد أداة قيّمة للطلاب والمُعلمين والمهنيين في مجال الإحصاء.